高性能无矩阵非拟合有限元算子求值
数值分析
2024-04-15 v2 数值分析
摘要
非拟合有限元方法（如 CutFEM）传统上以基于矩阵的方式实现，即组装稀疏矩阵并在求解所得线性方程组时将其应用于向量。为了提高性能并支持具有更高多项式次数的算法，本文转而采用一种更抽象的方法，即无矩阵地求值算子对向量的作用。所提出的方法遍历单元，并局部求值单元、面和界面积分，包括来自切割单元的贡献以及不同的稳定化手段。主要挑战在于，对被界面切割的单元中由非拟合离散化产生的非结构化求积点，如何高效地数值求值弱形式中的各项。我们给出了张量积单元的设计选择与性能优化，并通过基准测试与应用示例展示了其性能。对于多项式次数为三的不连续 Galerkin 离散化，我们证明了其算子求值相比稀疏矩阵-向量乘积实现了超过一个数量级的加速，并开发了性能模型以量化在很宽的多项式次数范围内的性能表现。
引用
@article{arxiv.2404.07911,
title = {High-performance matrix-free unfitted finite element operator evaluation},
author = {Maximilian Bergbauer and Peter Munch and Wolfgang A. Wall and Martin Kronbichler},
journal= {arXiv preprint arXiv:2404.07911},
year = {2024}
}