弱形式TransNet：基于Petrov-Galerkin方法的椭圆PDE求解神经网络方法
数值分析
2025-06-19 v1 数值分析
摘要
尽管深度学习在求解偏微分方程（PDE）方面取得了显著的成功，但仍面临诸多挑战，尤其是当PDE解的规律性较低或存在奇异点时。为此，本文提出了基于Petrov-Galerkin配位的Weak TransNet（WTN）方法，用于求解椭圆型PDE，虽其框架可能拓展至其他类别的方程。具体而言，由TransNet（Zhang等，2023）定义的神经特征空间作为试函数空间，而测试空间由径向基函数构成。由于解可表示为试函数的线性组合，系数可通过最小化弱形式残差来确定。因此，该方法可有助于缓解神经网络训练中常出现的非凸性和病条件问题。此外，WTN方法被扩展用于处理解具有多尺度特征或具备尖锐变化的问题。本文将 presented several numerical experiments 以 demonstrate the robustness and efficiency of the proposed methods。
引用
@article{arxiv.2506.14812,
title = {Weak TransNet: A Petrov-Galerkin based neural network method for solving elliptic PDEs},
author = {Zhihang Xu and Min Wang and Zhu Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2506.14812},
year = {2025}
}