波问题 Kolmogorov $N$-宽度的衰减

Kolmogorov $N$-宽度 $d_N(\mathcal{M})$ 描述了（关于赋范空间 $H$ 的子集 $\mathcal{M}\subset H$）由向 $H$ 中维数 $N\in\mathbb{N}$ 的最佳可能线性子空间投影所产生的最坏情况误差的速率。因此，$d_N(\mathcal{M})$ 为任何基于投影的逼近（如由约化基方法确定的逼近）设定了极限。尽管已知对许多线性强制参数化偏微分方程 $d_N(\mathcal{M})$ 指数快速衰减，即 $d_N(\mathcal{M})=\mathcal{O}(e^{-\beta N})$，我们在本注记中证明，对具有不连续初始条件的双曲波动方程初边值问题仅有 $d_N(\mathcal{M}) =\mathcal{O}(N^{-1/2})$。这与已知的线性输运问题 $d_N(\mathcal{M})$ 的缓慢衰减一致。