全纯映射下的 Kolmogorov 宽度

若 $L$ 是将 Banach 空间 $X$ 映射到 Banach 空间 $Y$ 的有界线性算子，且 $K$ 是 $X$ 中的紧集，则像 $L(K)$ 的 Kolmogorov 宽度不超过 $K$ 的宽度乘以 $L$ 的范数。我们将此结果从线性映射推广到从 $X$ 到 $Y$ 的全纯映射 $u$，意义如下：当 $K$ 的 $n$ 宽度对于某个 $r\textgreater{}1$ 为 $O(n^{-r})$ 时，则 $u(K)$ 的 $n$ 宽度对于任意 $s \textless{} r-1$ 为 $O(n^{-s})$。我们随后利用这些结果证明关于某些参数化偏微分方程解所构成流形的 Kolmogorov 宽度的若干定理。此类结果在降基及其他简化建模方法的数值分析中十分重要，因为此类方法的最佳可能性能由解流形的 Kolmogorov 宽度的衰减速率所支配。