Kolmogorov 关于全纯函数空间中宽度渐近性的一个新解

给定 $\mathbb{C}^n$ 中的域 $D$ 以及 $K$ 为 $D$ 的紧子集，所有在 $D$ 上全纯且模被 $1$ 界定的函数的限制组成的集合 $\mathcal{A}_K^D$ 是连续函数空间 $C(K)$ 的一个紧子集。$\mathcal{A}_K^D$ 的 Kolmogorov $m$-宽度序列 $(d_m(\mathcal{A}_K^D))_{m\in \mathbb{N}}$ 提供了该集合在 $C(K)$ 中紧致程度的一种度量，其渐近性的研究历史悠久，基本上可追溯到 Kolmogorov 在 1950 年代关于紧集 $\epsilon$-熵的工作。1980 年代，Zakharyuta 证明了对合适的 $D$ 和 $K$，渐近式 \begin{equation*} \lim_{m\to \infty}\frac{- \log d_m(\mathcal{A}_K^D)}{m^{1/n}} = 2\pi \left ( \frac{n!}{C(K,D)}\right ) ^{1/n}\,, \end{equation*} 其中 $C(K,D)$ 是 $K$ 在 $D$ 中的 Bedford-Taylor 相对容量，可由一个关于 $K$ 与 $D$ 的正则化相对极值函数被某些多重复 Green 函数逼近的猜想（现称为 Zakharyuta 猜想）推出。Zakharyuta 猜想于 2004 年由 Nivoche 证明，同时也解决了上述渐近式。我们将对严格超凸的 $D$ 和非多重极性的 $K$ 给出上述渐近式的一个不依赖于 Zakharyuta 猜想的新证明。相反，我们采用更直接的两方面途径，建立 Kolmogorov 宽度的精确上下界。下界源于一族 Toeplitz 算子特征值具有独立意义的集中结果，而上界则来自 Bergman-Weil 公式的应用以及由特殊全纯多面体进行的穷竭过程。