最佳低秩逼近与Kolmogorov n-宽度

我们将矩阵 $A$ 在谱范数下的最佳低秩逼近问题与 Kolmogorov $n$-宽度及相应的最优空间联系起来。我们刻画了 Euclid 单位球在 $A$ 作用下的像的所有最优空间，并证明了 $n$ 维最优空间中的任意标准正交基都能生成 $A$ 的最佳秩-$n$ 逼近。我们还提出了一种简单且显式的构造方法，使得在已知一个初始最优空间后，能够获得一系列最优 $n$ 维空间。这为最佳低秩逼近问题提供了多种解，并为截断奇异值分解提供了替代方案。这种多样性可被利用以获得具有面向问题性质的最佳低秩逼近。