椭圆内检验的局部几何：通过局部化 Kolmogorov 宽度的紧控制

我们研究在高维椭圆内检验均值向量相对于复合备择假设的局部几何。给定高斯随机向量的样本，目标是区分均值是否等于椭圆内某个已知向量，还是等于椭圆内某个其他未知向量。此类椭圆检验问题处于若干应用的核心，包括非参数拟合优度检验、认知无线电中的信号检测以及再生核 Hilbert 空间中的回归函数检验。虽然以往关于此类问题的研究侧重于全局意义上的困难性，但我们以局部化到椭圆内每个向量的方式研究困难性。我们的主要结果是给出局部化极小极大检验半径的紧上下界，其由一个涉及椭圆与欧氏球交的 Kolmogorov 宽度的显式公式给出。当应用于具体例子时，我们的一般定理给出了先前未知的有趣速率：作为一个特例，对于光滑度 $\alpha$ 的 Sobolev 椭圆检验，我们展示了从 $(\sigma^2)^{\frac{4 \alpha}{4 \alpha + 1}}$（对应于经典全局速率）到更快的速率 $(\sigma^2)^{\frac{8 \alpha}{8 \alpha + 1}}$（可在椭圆内有利位置处的向量上实现）的变化。我们还表明该问题的最优检验由基于观测向量显式低维投影的线性投影检验实现。