配备高斯测度的 $\mathbb{R}^d$ 上函数的最优数值积分与逼近

我们研究配备标准高斯测度 $\gamma$ 的 $\mathbb{R}^d$ 上积分的数值逼近，被积函数属于混合光滑度 $\alpha \in \mathbb{N}$ 的高斯加权 Sobolev 空间 $W^\alpha_p(\mathbb{R}^d, \gamma)$，其中 $1 < p < \infty$。我们证明了基于 $n$ 个积分节点的最优求积公式收敛的渐近阶，并提出了一种构造渐近最优求积公式的新方法。对于相关问题，我们以类似技术确立了对于 $1 \leq q < p < \infty$ 与 $q=p=2$，在 Gaussian 加权空间 $L_q(\mathbb{R}^d, \gamma)$ 中 $W^\alpha_p(\mathbb{R}^d, \gamma)$ 单位球的线性、Kolmogorov 与采样 $n$-宽度的渐近阶。