Sobolev 空间中非周期函数的最优求积公式及其在 CT 图像重建中的应用

本文针对 Sobolev 空间 $L_2^{(m)}[a,b]$ 中 $m$ 阶导数平方可积复值函数的积分 $\int_a^b e^{2\pi i\omega x}\varphi(x)d x$（其中 $\omega\in \mathbb{R}$）的数值积分，构造了 Sard 意义下的最优求积公式。此处利用微分算子 $\frac{d^{2m}}{d x^{2m}}$ 的离散类比，得到了最优系数的显式公式。所得最优求积公式的收敛阶为 $O(h^m)$。作为应用，我们实现了滤波反投影（FBP）算法——一种著名的计算机断层扫描（CT）图像重建算法。通过使用所提出的二阶与三阶最优求积公式逼近傅里叶变换及其逆变换，我们观察到重建算法的精度得到了改善。在数值实验中，我们将使用所提出的最优求积公式得到的重建图像质量与使用常规 FBP（其中利用快速傅里叶变换计算傅里叶变换及其逆变换）的结果进行了比较。在噪声测试中，所提算法相比常规 FBP 提供了更可靠的抗噪结果。