Sobolev 空间 $H^1$ 的最优求积公式

我们研究 Sobolev 空间 $H^1([0,1])$ 中任意加权积分和被积函数的最优求积公式。我们得到了依赖于节点 $x_j$ 的最坏情况误差的一般公式。一个特例是计算 Fourier 系数，其中振荡权重由 $\rho_k(x) = \exp(- 2 \pi i k x)$ 给出。在此我们研究等距节点是否最优的问题。我们证明这取决于 $n$ 和 $k$：当 $n \ge 2.7 |k| +1$ 时等距节点是最优的，但对于较小的 $n$ 可能是次优的。特别地，当 $j=0, 1, \dots , |k| = n+1$ 时的等距节点 $x_j = j/ |k|$ 是最坏的节点，且不提供任何有用信息。为了刻画最坏情况函数，我们使用了边值问题弱解理论及相关二次极值问题中的某些结果。