基于 Sobolev 方法构造对指数-三角函数精确的最优求积公式

本文研究由 Sobolev 方法在空间 $W_2^{(m,0)}$ 中构造最优求积公式的 Sard 问题。该问题由两部分组成：首先计算误差泛函的范数，然后通过求积公式的系数求该范数的最小值。此处误差泛函的范数是借助极值函数计算的。随后利用 Lagrange 乘子法得到了空间 $W_2^{(m,0)}$ 中最优求积公式系数的线性方程组，并讨论了该方程组解的存在性与唯一性。接着，构造了微分算子 $\frac{d^{2m}}{d x^{2m}}-1$ 的离散类比 $D_m(h\beta)$。进一步，描述了基于离散类比 $D_m(h\beta)$ 在空间 $W_2^{(m,0)}$ 中构造最优求积公式的 Sobolev 方法。最后，对 $m=1$ 和 $m=3$ 得到了对指数-三角函数精确的最优求积公式。