高阶加扰数字网络在光滑被积函数下达到均方根误差的最优速率

我们研究一种随机采样技术，通过平均某些采样点上的函数值来逼近积分 $\int_{[0,1]^s}f(\mathbf{x})\,\mathrm{d}\mathbf{x}$。我们关注被积函数光滑的情形，这是统计学中出现的一个问题。逼近误差的收敛速率取决于函数 $f$ 的光滑性和采样技术。例如，对于具有有限方差的函数 $f$，蒙特卡洛(MC)采样使得均方根误差(RMSE)以 $N^{-1/2}$ 的阶数收敛（其中 $N$ 是样本数）。随机拟蒙特卡洛(RQMC)是 MC 和拟蒙特卡洛(QMC)的结合，在更强的假设（被积函数具有有界变差）下，RMSE 达到 $N^{-3/2+\varepsilon}$ 阶的收敛。将 RQMC 与局部对偶采样相结合，对于具有直到二阶混合偏导数的函数，RMSE 的收敛阶为 $N^{-3/2-1/s+\varepsilon}$（其中 $s\ge1$ 是维数）。一般而言，被积函数的额外光滑性不会提高这些算法的收敛速率。另一方面，已知如果没有被积函数的额外光滑性，就不可能提高收敛速率。本文介绍了一种新的 RQMC 算法，我们证明，只要被积函数满足强假设，即每个变量具有直到 $\alpha>1$ 阶的平方可积混合偏导数，该算法就能使 RMSE 达到 $N^{-\alpha-1/2+\varepsilon}$ 阶的收敛。已知的 RMSE 下界表明，对于具有这种光滑性的被积函数，该收敛速率通常无法改进。我们提供了数值示例，其中 RMSE 近似以 $N^{-5/2}$ 和 $N^{-7/2}$ 的阶数收敛，与理论上界一致。