超越 Hardy-Krause 的准蒙特卡罗方法

数值计算函数 $f$ 的经典方法包括蒙特卡罗 (MC) 和准蒙特卡罗 (QMC) 方法。MC 方法使用随机样本评估 $f$，其误差为 $O(\sigma(f)/\sqrt{n})$，其中 $\sigma(f)$ 为 $f$ 的标准差。QMC 方法基于评估来自具有低偏差点集的 $f$，根据经典的 Koksma-Hlawka 不等式，其误差为 $\widetilde{O}(\sigma_{\mathsf{HK}}(f)/n)$，其中 $\sigma_{\mathsf{HK}}(f)$ 为 Hardy-Krause 变差。这两种方法各有优缺点， fundamental 的问题是寻找一种结合两者优势的方法。本文给出一种简单随机算法，用于生成具有以下可取特征的 QMC 点集：(1) 其误差显著优于经典 Koksma-Hlawka 不等式给出的误差。具体而言，其误差为 $\widetilde{O}(\sigma_{\mathsf{SO}}(f)/n)$，其中 $\sigma_{\mathsf{SO}}(f)$ 为我们引入的新变差度量，远小于 Hardy-Krause 变差。(2) 该算法仅需要来自底层分布的随机样本，因而与 MC 同样灵活。(3) 它自动以最优方式实现 MC、QMC 两者的最佳效果（以及对 Hardy-Krause 变差的上述改进）。(4) 该算法极其高效，每个样本的摊销运行时间为 $\widetilde{O}(1)$。本方法基于几何偏差中的经典传递原则，结合组合偏差的最新算法创新，这些创新不仅产生低偏差着色，还保证某些亚高斯属性。这使我们能够绕过之前工作在弥合 MC 与 QMC 方法之间的限制，并超越 Hardy-Krause 变差。