加权Sobolev空间中数值积分的高阶数字网的快速构造

高阶数字网是拟蒙特卡洛规则的一类特殊点集，可实现光滑函数数值积分的最优收敛速度。Dick提出了一种高阶数字网的显式构造，该方法基于以某种方式数字交织经典数字网的分量，其中分量数是维数$s$的倍数$ds$。在本文中，我们给出了一种快速的计算机搜索算法，通过使用多项式格点集来找到适合交织分量的良好经典数字网。我们考虑具有任意高阶光滑性的某些加权Sobolev空间，并推导了数字移位高阶数字网的均方最坏情况误差的上界。利用该上界作为质量准则，我们证明分量逐分量构造可以有效地找到适合交织分量的良好多项式格点集。通过这种方法，我们能够在某些权重条件下获得一些可处理性结果。使用快速傅里叶变换的快速构造需要$O(dsN \log N)$次运算和$O(N)$内存，其中$N$是点数，$s$是维数。与高阶多项式格点集相比，这显著降低了构造成本。数值实验证实，我们构造的点集的性能通常优于使用Sobol'序列和Niederreiter-Xing序列作为交织分量的高阶数字网，表明我们的算法很有用。