任意高阶交错 scrambling 多项式格规则的构造

高阶 scrambling 数字网是随机化拟蒙特卡洛规则，最近在 [J. Dick, Ann. Statist., 39 (2011), 1372--1398] 中被引入，并证明对于定义在 $s$ 维单位超立方体上的光滑函数的数值积分，其均方根误差能达到最优收敛速率。其中的关键要素是一个数字交错函数，应用于随机 scrambling 数字网的分量，其分量数量为 $ds$，其中整数 $d$ 是所谓的交错因子。在本文中，我们将随机 scrambling 数字网替换为随机 scrambling 多项式格点集，这使得我们在保持最优收敛速率的同时，能够获得对维数更好的依赖性。我们的结果适用于 Owen 的完全 scrambling 方案以及 Hickernell、Matou\v{s}ek 和 Owen 研究的简化方案。我们考虑具有广义权重的加权函数空间，其元素具有直至 $\alpha\ge 1$ 阶的平方可积偏混合导数，并推导了高阶 scrambling 多项式格规则估计量方差的上界。利用我们获得的上界作为质量标准，我们证明了逐分量构造法可用于获得优良多项式格点集的显式构造。通过首先在基 $b$ 和维数 $ds$ 中构造经典多项式格点集，然后对其应用阶数为 $d$ 的交错方案，我们在乘积权重的情况下，获得了算法的构造成本为 $\mathcal{O}(dsmb^m)$ 次运算，使用 $\mathcal{O}(b^m)$ 内存，其中 $b^m$ 是多项式格点集中的点数。