高阶数字序列的最优周期 $L_2$ 偏差与 diaphony 界

我们给出了 $d$ 维单位立方体中点的无穷序列 $(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \ldots)$ 的显式构造，其周期 $L_2$-偏差满足 $$L_{2,N}^{{\rm per}}(\{\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1,\ldots, \boldsymbol{x}_{N-1}\}) \le C_d N^{-1} (\log N)^{d/2} \quad \mbox{for all } N \ge 2,$$ 其中因子 $C_d > 0$ 仅依赖于维数 $d$。该构造基于 J. Dick 于 2008 年引入的高阶数字序列。根据 P.D. Proinov 首先给出的 Roth 型下界，就 $N$ 的阶而言该结果是最佳可能的。由于周期 $L_2$-偏差等价于 P. Zinterhof 的 diaphony，该结果也适用于这一分布不规则性的替代定量度量。