关于 Halton 序列的 L_2-偏差上界

设 $(H(n))_{n \geq 0}$ 为一个 $2$ 维 Halton 序列。令 $D_{2} ( (H(n))_{n=0}^{N-1})$ 为 $(H_n)_{n=0}^{N-1}$ 的 $L_2$-偏差。已知 $\limsup_{N \to \infty } (\log N)^{-1} D_{2} ( H(n) )_{n=0}^{N-1} >0$。在本文中，我们证明 $$D_{2} (( H(n) )_{n=0}^{N-1}) =O( \log N) \quad {\rm for} \;\; N \to \infty ,$$ 即我们找到了 2 维 Halton 序列的 $L_2$-偏差的最小可能量级。主要工具是关于 $p$-adic 对数中线性形式的定理。