列文二进制正规数的偏差确切阶

莫德哈伊·列文构造了一个在二进制下正规的数 $\alpha$，并且序列 $\left\{2^n \alpha\right\}_{n=0,1,2,\ldots}$ 具有非常小的偏差 $D_N$。事实上我们有 $N\cdot D_N = \mathcal{O} \left(\left(\log N\right)^2\right)$。这意味着 $\alpha$ 是极高质量的正规数。在本文中我们证明该估计是最佳可能的，即对无穷多个 $N$ 有 $N\cdot D_N \geq c \cdot \left(\log N\right)^2$。