偏差函数的上确界范数：近期结果与联系

偏差函数 $D_N$ 分析中的一大挑战是在维度 $d \geq 3$ 时获得 $D_N$ 的 $L_\infty$ 范数的普适下界。由 Klaus Roth 的平均情况界可知，$D_N$ 的 $L_\infty$ 范数至少为 $(\log N)^{(d-1)/2}$。据猜想，$L_\infty$ 界应显著更大，但目前的确定性结果仅限于 Wolfgang Schmidt 在 $d=2$ 维度的工作。作者与 Armen Vagharshakyan 已建立了高维中 Roth 指数 $(d-1)/2$ 的部分改进。本文综述了这些结果、其 underlying 方法，以及它们与概率论、逼近论和分析学中其他主题的联系。