关于Halton序列偏差的下界 II

设 $(H_s(n))_{n \geq 1}$ 为一个 $s$ 维广义 Halton 序列。令 $\emph{D}^{*}_N$ 为序列 $(H_s(n) )_{n = 1}^{N}$ 的偏差。已知当 $N \to \infty$ 时 $D^{*}_{N} =O(\ln^s N)$。本文中，我们证明该估计是精确的。即存在常数 $C(H_s)>0$，使得 $$\max_{1 \leq M \leq N} M \emph{D}^{*}_{M} \geq C(H_s) \log_2^s N \quad {\rm 对} \; \; N=2,3,... \; .$$