$(n_kx)$ 相对于某些概率测度的偏差

设 $(n_k)_{k=1}^{\infty}$ 为整数中的缺项序列。我们证明，若 $\mu$ 是 $[0,1)$ 上的概率测度且满足 $|\widehat{\mu}(t)|\leq c|t|^{-\eta}$，则对 $\mu$-几乎处处的 $x$，偏差 $D_N(n_kx)$ 满足 \begin{equation*} \frac{1}{4} \leq \limsup_{N\to\infty}\frac{N D_N(n_kx)}{\sqrt{N\log\log N}} \leq C \end{equation*} 对某个常数 $C>0$ 成立，证明了 Haynes、Jensen 和 Kristensen 的一个猜想。这使得他们先前关于 $q\|q\alpha\| \|q\beta-\gamma\|$ 形式乘积的结果有轻微改进。