关于Kac关于各向异性 lacunary 和的难题

给定一个 lacunary 序列 $(n_k)_{k \in \mathbb{N}}$，任意正权重 $(c_k)_{k \in \mathbb{N}}$满足 Lindeberg-Feller 条件，并给定一个函数 $f: \mathbb{T} \to \mathbb{R}$，其傅里叶系数 $\hat{f_k}$ 以速率 $\frac{1}{k^{1/2 + \varepsilon}}$ 衰减。我们证明了在 $(n_k)_{k \in \mathbb{N}}$ 满足必要的 Diophantine 条件时，对 $\sum_{k \leq N}c_kf(n_kx)$ 进行中心极限定理。这解决了 M. Kac [1946] 提出的问题。