关于随机子序列 {nα} 的差异性 II
概率论
2023-03-15 v1 数论
摘要
设 α 为无理数，设 X_1, X_2, … 为独立同分布的整数值随机变量，并令 S_k=∑_{j=1}^k X_j。假设 X_1 具有有限方差或重尾 P(|X_1|>t)∼ct^{-β}，0<β<2，在本文第一部分中我们证明了，直至对数因子，序列 {S_k α} 前 N 项的差异 D_N(S_k α) 的量级为 O(N^{-τ})，其中 τ= min(1/(β γ), 1/2)（在有限方差情形下 β=2），γ 为 α 的强丢番图型。这显示了差异性在 βγ=2 处的行为变化。本文中我们确定了当 βγ<1 时 D_N(S_k α) 的精确量级，并确定了 N^{-1/2} D_N(S_k α) 的极限分布。我们还证明了这些结果的一个函数版本，描述了序列 {S_k α} 的广泛一类泛函的渐近行为。最后，我们将结果推广到一般随机游动 S_k 的 {S_k} 的差异，对 X_1 不作算术条件，仅假设 {S_k} 到均匀分布的弱收敛具有温和的多项式速率。
引用
@article{arxiv.2010.07251,
title = {On the discrepancy of random subsequences of $\{n\alpha\}$ II},
author = {Istvan Berkes and Bence Borda},
journal= {arXiv preprint arXiv:2010.07251},
year = {2023}
}