$1/f^{\alpha}$ 信号的顺序统计量

研究了具有$1/f^{\alpha}$功率谱的周期性高斯噪声的顺序统计量。通过模拟和唯象论证，我们发现了信号第$k$大值与第$(k+1)$大值之间平均间隔$d_k=<x_k-x_{k+1}>$的三个标度区域。对于独立同分布变量已知的结果$d_k \sim 1/k$在$0<\alpha<1$时仍然成立。当$1<\alpha<5$时，出现非平凡的、依赖于$\alpha$的标度指数$d_k \sim k^{(\alpha -3)/2}$；而当$\alpha>5$时，得到与$\alpha$无关的标度$d_k \sim k$。还考察了平均有序值谱$\epsilon_k=<x_1-x_k> \sim k^{\beta}$。指数$\beta$由间隔标度导出，也可通过将$\epsilon_k$与近极端态密度关联得到。已知的近极端态密度结果结合标度分析表明，$\beta(\alpha=2)=1/2$、$\beta(4)=3/2$和$\beta(\infty)=2$是精确值。我们还指出，$\epsilon_k$与幂律势中粒子的量子力学谱之间存在平行关系。