临界分支布朗运动的普适序统计与间隙统计

我们研究了一维分支布朗运动的序统计，其中粒子要么扩散（扩散系数为 $D$），要么死亡（速率为 $d$），要么分裂成两个粒子（速率为 $b$）。在我们关注的临界点 $b=d$ 处，我们表明在大时间 $t$ 下，粒子集体聚集在一起。我们确实发现系统中存在两个长度尺度：(i) 控制整个团簇集体涨落的扩散长度尺度 $\sim \sqrt{Dt}$，以及 (ii) 团簇粒子间间隙的长度尺度 $\sim \sqrt{D/b}$。我们计算了第 $k$ 个间隙 $g_k = x_k - x_{k+1}$（即第 $k$ 个和第 $(k+1)$ 个粒子之间）的概率分布函数 $P(g_k,t|n)$，前提是系统在时间 $t$ 恰好包含 $n>k$ 个粒子。我们表明，在大 $t$ 时，它收敛于一个平稳分布 $P(g_k,t\to \infty|n) = p(g_k|n)$，该分布具有代数尾 $p(g_k|n) \sim 8(D/b) g_k^{-3}$（对于 $g_k \gg 1$），且独立于 $k$ 和 $n$。我们通过蒙特卡洛模拟验证了我们的预测。