布朗重排中顶级排名统计的普适性

我们研究了在半直线上进行布朗运动的粒子（按距原点距离排序）的顶级排名统计的动力学方面。为此，我们引入了一个称为重叠比$\Omega(t)$的可观测量，其平均值是一个粒子在某个时刻位于前$n$名列表中，在时间$t$后仍位于前$n$名列表中的概率。重叠比是一个局部可观测量，集中于排名的顶端，不需要所有粒子的完整排名，在实践中易于测量。我们推导了在稳态下由$N$个粒子组成的系统（这些粒子在正实半轴上独立进行布朗运动，原点处有反射壁，并存在朝向壁的漂移）的平均重叠比的解析公式。特别地，我们证明当$N\rightarrow \infty$时，对于$n\gg 1$，重叠比呈现相当简单的形式$\langle \Omega(t)\rangle = {\rm erfc}(a \sqrt{t})$，其中$a>0$为某个标度参数。即使对于$n=10$这样中等大小的前$n$名列表，该结果也是很好的近似。此外，我们表明重叠比表现出普适行为，在许多动力学系统中均可观察到，包括几何布朗运动、具有位置相关漂移和单侧软势垒的布朗运动、Bouchaud-Mézard财富分布模型以及Kesten过程。