分解范数与遗传偏差

实 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的 $\gamma_2$ 范数是满足以下条件的最小数 $t$：$A$ 的列向量包含在一个以 $0$ 为中心的椭球 $E\subseteq\mathbb{R}^m$ 中，而该椭球又包含在超立方体 $[-t, t]^m$ 内。我们证明了这个经典量可以如下近似\emph{遗传偏差} $\mathrm{herdisc}\ A$：$\gamma_2(A) = {O(\log m)}\cdot \mathrm{herdisc}\ A$ 且 $\mathrm{herdisc}\ A = O(\sqrt{\log m}\,)\cdot\gamma_2(A)$。由于 $\gamma_2$ 是多项式时间可计算的，这为遗传偏差提供了一个多项式时间近似算法。两个不等式均被证明是渐近紧的。随后，我们通过几个例子展示了 $\gamma_2$ 范数作为证明偏差理论中上下界工具的强大能力。最值得注意的是，我们为\emph{$d$ 维 Tusn\'ady 问题}证明了一个新的下界 $\Omega(\log^{d-1} n)$，该问题要求计算 $\mathbb{R}^d$ 中 $n$ 点集关于轴平行盒的组合偏差。对于 $d>2$，这改进了之前约为 $\log^{(d-1)/2}n$ 量级的最佳下界，并且接近 $O(\log^{d+1/2}n)$ 的最佳已知上界，对此我们也获得了一个非常简单的证明。