弱混合一阶导数的可积性与扰码数字网的收敛速度

我们考虑被积函数弱混合一阶导数的 $L^p$ 可积性，并研究扰码数字网的收敛速度。我们证明 [Dick and Pillichshammer, 2010] 中参数为 $\alpha \in [\frac{1}{2}, 1]$ 的广义 Vitali 变差以弱混合一阶导数的 $L^p$ 范数为上界，其中 $p = \frac{2}{3-2\alpha}$。因此，当弱混合一阶导数属于 $L^p$（$1 \leq p \leq 2$）时，扰码数字网估计量的方差以 $\mathcal{O}(N^{-4+\frac{2}{p}} \log^{s-1} N)$ 的速度收敛。数值实验进一步验证了理论结果。