分数次积分及若干相关算子的 Sawyer 型混合弱估计

我们证明了分数次算子的 Sawyer 型混合弱估计。更确切地说,令 $\mathcal{T}$ 为极大分数次函数 $M_\gamma$ 或分数次积分算子 $I_\gamma$,$0<\gamma<n$,$1\leq p<n/\gamma$ 且 $1/q=1/p-\gamma/n$。若 $u,v^{q/p}\in A_1$ 或若 $uv^{-q/{p'}}\in A_1$ 且 $v^q\in A_\infty(uv^{-q/{p'}})$,则我们得到估计 \begin{equation*} uv^{q/p}\left(\left\{x\in \R^n: \frac{|\mathcal{T}(fv)(x)|}{v(x)}>t\right\}\right)^{1/q}\leq \frac{C}{t}\left(\int_{\R^n}|f(x)|^pu(x)^{p/q}v(x)\,dx\right)^{1/p}, \end{equation*} 对每个正的 $t$ 以及每个具有紧支集的有界函数成立。作为上述结果的一个重要应用,我们进一步给出了当符号 $b$ 属于 Lipschitz-$\delta$ 类,$0<\delta\leq 1$ 时,Calder\'on-Zygmund 奇异积分与分数次积分算子的交换子的混合弱估计。