抖动采样的一个尖锐差异界

对于 $m, d \in {\mathbb N}$，在 $[0,1)^d$ 中具有 $N = m^d$ 个点的抖动采样点集 $P$ 的构造方式为：将单位立方体 $[0,1)^d$ 划分为 $m^d$ 个等大的轴对齐立方体，然后在每个立方体中独立且均匀地随机放置一个点。我们证明存在常数 $c \ge 0$ 和 $C$，使得对所有 $d$ 及所有 $m \ge d$，抖动采样点集的期望非归一化星差异满足 $$c \,dm^{\frac{d-1}{2}} \sqrt{1 + \log(\tfrac md)} \le {\mathbb E} D^*(P) \le C\, dm^{\frac{d-1}{2}} \sqrt{1 + \log(\tfrac md)}.$$ 因此，该差异比具有 $m^d$ 个点的均匀分布随机点集的差异小一个因子 $\Theta\big(\sqrt{\frac{1+\log(m/d)}{m/d}}\,\big)$。该结果改进了 Pausinger 与 Steinerberger（Journal of Complexity (2016)）给出的抖动采样差异的上界与下界，并去除了 $m$ 相对于 $d$ 须足够大的渐近要求。