有界原始粉碎维数集系统的尺寸敏感偏差界

设 $(X,\S)$ 为 $n$ 点集 $X$ 上的集系统。$\S$ 的偏差（discrepancy）定义为：在所有 $S \in \S$ 的子集及 $X$ 上的二染色 $\chi$ 中，偏离均匀分割的最大值的最小值。我们考虑如下情形：对于任意大小为 $m \le n$ 的子集 $X' \subseteq X$ 及任意参数 $1 \le k \le m$，$\S$ 中集合限制在 $X'$ 上且大小至多为 $k$ 的限制数量仅为 $O(m^{d_1} k^{d-d_1})$，其中 $d > 0$ 和 $1 \le d_1 \le d$ 为固定整数（当 $d_1 = d$ 时，这推广了标准的有界原始粉碎维数概念）。在此情况下，我们证明存在一种染色 $\chi$，使得对每个 $S \in \S$，其偏差界为 $O^{*}(|S|^{1/2 - d_1/(2d)} n^{(d_1 - 1)/(2d)})$，其中 $O^{*}(\cdot)$ 隐藏了 $n$ 中的多对数因子。该界在多对数因子内是紧的 \cite{Mat-95, Mat-99}，且利用 Lovett 和 Meka 近期提出的构造性偏差最小化工具 \cite{LM-12}，可在期望多项式时间内计算出相应的染色 $\chi$。我们的界改进并推广了 Har-Peled 和 Sharir \cite{HS-11}（及其后续工作 \cite{SZ-12}）针对 $d \ge 3$ 维空间中点与半空间所获得的界。