关于星偏差的倒数

星偏差的倒数 $N^*(d,\ve)$ 表示在 $[0,1]^d$ 中实现不超过 $\ve$ 的星偏差所需点集的最小基数。根据 Heinrich, Novak, Wasilkowski 和 Wo{\'z}niakowski 的结果，$$N^*(d,\ve) \leq c_{\textup{abs}} d \ve^{-2}.$$ 此处对维数 $d$ 的依赖是最优的，而对 $\ve$ 的确切依赖关系仍是一个未决问题。在本文中，我们证明了 $$N^*(d,\ve) \leq c_{\textup{abs}} d \ve^{-3/2} (\log (\ve^{-1}))^{1/2}.$$ 这是一个令人惊讶的结果，它反驳了 Novak 和 Wo{\'z}niakowski 的一个猜想。