用最少斯坦纳点近似{0,1,2}-可生存网络

我们考虑具有最少斯坦纳点的可生存网络(SN-MSP)问题的低连通性变体：给定度量空间(M,d)中有限终端集$R$，不稳定终端子集$B \subseteq R$，以及连通性需求{r_{uv}: u,v \in R}，求最小规模点集$S \subseteq M$，使得$R \cup S$的单位圆盘图对任意$u,v \in R$包含$r_{uv}$条内部边不相交且$(B \cup S)$-不相交的$uv$-路径。当对所有$u,v \in R$有$r_{uv}=1$时，即为最少斯坦纳点斯坦纳树(ST-MSP)问题；当$r_{uv} \in \{0,1\}$时，即为最少斯坦纳点斯坦纳森林(SF-MSP)问题。设$\Delta$为单位球内任意两点距离大于1的最大点数。已知在$\mathbb{R}^2$中$\Delta=5$。先前ST-MSP在任意赋范空间中的近似比为$\lfloor (\Delta+1)/2 \rfloor+1+\epsilon$ \cite{NY}，在欧氏空间$\mathbb{R}^2$中为$2.5+\epsilon$ \cite{cheng2008relay}。我们给出的ST-MSP近似比在任意赋范空间中为$1+\ln(\Delta-1)+\epsilon$，在$\mathbb{R}^2$中降至$1+\ln 4+\epsilon < 2.3863 +\epsilon$。对于$r_{uv} \in \{0,1,2\}$的SN-MSP，我们给出一个简单的$\Delta$-近似算法。特别地，对于SF-MSP，这改进了之前的比值$2\Delta$。