相对可生存网络设计的改进近似算法

网络设计中最重要且被充分研究的设定之一是边连通性需求。这包括诸如最小$k$-边连通生成子图问题之类的均匀需求，以及诸如可生存网络设计问题（SND）之类的非均匀需求。在[Dinitz, Koranteng, Kortsarz APPROX '22]最近的一篇论文中，作者指出这些公式的一个弱点是无法考虑在仅有少量小割的图中的容错能力。为弥补这一点，他们基于“相对”容错的概念引入了这些问题的新变体。非正式地说，这不要求在两个节点出现有界数量的故障（如经典设定中）时仍连通，而是要求在两个节点出现有界数量故障且这两个节点在故障后的底层图中连通时才连通。即使对于单一需求的情况，该问题也已经高度非平凡。由于这一新容错概念带来的困难，[Dinitz, Koranteng, Kortsarz APPROX '22]中的结果相当有限。对于相对可生存网络设计问题（RSND），当需求非均匀时，他们仅对单一需求且连通性需求为$3$的情形给出了非平凡结果：一个非最优的$27/4$-近似。我们以两种重要方式强化了该结果：我们对所有需求不超过$3$的RSND给出$2$-近似，并对具有任意值$k$的单一需求的RSND给出$2^{O(k^2)}$-近似。为取得这些结果，我们首先利用最小割的“仙人掌表示”给出到普通SND的无损归约。其次，我们推广了[Dinitz, Koranteng, Kortsarz APPROX '22]的技术，证明了他们结构定理的一个广义且更复杂的版本，并据此设计了一个递归近似算法。