平面图与子式闭图族中的节点加权网络设计

我们考虑平面图和子式闭图族中的节点加权可生存网络设计（SNDP）。输入包括一个节点加权无向图 $G=(V,E)$ 以及每对无序节点 $uv$ 的整数连通性需求 $r(uv)$。目标是找到 $G$ 的一个最小加权子图 $H$，使得对于每对节点 $uv$，$H$ 在 $u$ 和 $v$ 之间包含 $r(uv)$ 条不相交路径。根据路径要求是边不相交、元素不相交还是顶点不相交，该问题有三个版本：边连通 SNDP（EC-SNDP）、元素连通 SNDP（Elem-SNDP）和顶点连通 SNDP（VC-SNDP）。我们的主要结果是，当输入图是平面图或更一般地属于一个真子式闭图族时，针对 EC-SNDP 和 Elem-SNDP 的 $O(k)$-近似算法；这里 $k=\max_{uv} r(uv)$ 是最大连通性需求。这改进了节点加权 EC-SNDP 和 Elem-SNDP 在一般图中已知的 $O(k \log n)$-近似 [Nutov, TALG'12]。当连通性需求在 $\{0,1,2\}$ 中时，我们还获得了节点加权 VC-SNDP 的 $O(1)$ 近似；对于更高的连通性，我们对 Elem-SNDP 的结果可以以黑盒方式使用，从而在目前已知的一般图结果上获得对数因子的改进。我们的结果受到 [Demaine, Hajiaghayi 和 Klein, TALG'14] 工作的启发并对其进行了推广，他们通过原始-对偶算法在平面图和真子式闭图族中获得了节点加权 Steiner 树和 Steiner 森林问题的常数因子近似。