源定位与星形可生存网络问题的近似算法

在源定位（SL）问题中，目标是选择一个最小代价源集$S \subseteq V$，使得从$S$到任意节点$v$的连通性（或流）$\psi(S,v)$至少满足$v$的需求$d_v$。在许多SL问题中，如果$v \in S$，则$\psi(S,v)=d_v$，即被选入$S$的节点的需求完全满足。在Fukunaga最近提出的一种节点连通性变体中，每个节点$v$如果被选入$S$，则会获得一个“奖励”$p_v \leq d_v$。Fukunaga证明，对于无向图，他的变体可以达到比率$O(k \ln k)$，其中$k=\max_{v \in V}d_v$是最大需求。我们改进了这一结果，对于带有节点容量的更一般版本，达到了比率$\min\{p^*\ln k,k\}\cdot O(\ln (k/q^*))$，其中$p^*=\max_{v \in V} p_v$是最大奖励，$q^*=\min_{v \in V} q_v$是最小容量。特别地，对于Fukunaga考虑的最自然情况$p^*=1$，我们将比率从$O(k \ln k)$改进为$O(\ln^2 k)$。对于边连通性版本，我们也得到了比率$O(k)$，而此前没有仅依赖于$k$的比率。为了推导这些结果，我们考虑了可生存网络（SN）问题的一个特例，其中所有正代价的边构成一个星形。我们给出了这个变体的比率$O(\min\{\ln n,\ln^2 k\})$，改进了Chuzhoy和Khanna对一般情况已知的最佳比率$O(k^3 \ln n)$。