节点连通终端备份、分离容量多流与离散凸性

终端备份问题(Anshelevich和Karagiozova (2011))构成一类网络设计问题：给定无向图及终端上的需求，目标是找到满足连通性需求的最小代价子图。节点连通终端备份问题要求一个终端与其它终端以若干节点不相交路径相连。该问题是否NP难或易处理尚属未知。Fukunaga (2016)基于LP舍入方案并使用通用LP求解器给出了$4/3$-近似算法。本文中，我们为松弛LP开发了一种组合算法，以在$O(m\log (nUA)\cdot \operatorname{MF}(kn,m+k^2n))$时间内找到半整数最优解，其中$n$为节点数，$m$为边数，$k$为终端数，$A$为最大边代价，$U$为最大边容量，$\operatorname{MF}(n',m')$为具有$n'$个节点和$m'$条边的网络中最大流算法的时间复杂度。该算法意味着节点连通终端备份问题的$4/3$-近似算法也可被高效实现。在算法设计中，我们探索了节点连通终端备份问题与一类称为分离容量多流的新类型多流之间的联系。我们展示了一个将Lovász-Cherkassky定理推广至节点容量情形的极小极大定理。我们的结果建立在节点连通终端备份问题中的离散凸性之上。