关于 MST 比率：理论界限与求最大值复杂度

给定平凉空间 $\mathbb{R}^d$ 中的一组红蓝点集合，MST 比率定义为红点集和蓝点集的欧几里得最小生成树长度之比，再除以其并集的欧几里得最小生成树长度。MST 比率因其在拓扑模型中直观的解释而近日受到关注，这些模型用于研究具有应用前景的点集（如空间生物学）。给定点集的最大 MST 比率是其所有proper 着色方案中 MST 比率的最大值。我们证明，当维度计入输入时，求解给定点集的最大 MST 比率是 NP-hard 的。此外，我们提出一种二次时间的 3 近似算法。作为证明的一部分，我们展示在任意度量空间中，最大 MST 比率小于 3。我们还研究了一组 $n$ 个点的所有着色方案的平均 MST 比率。我们证明该平均值始终至少为 $\frac{n-2}{n-1}$，且对于在 $d$ 维单位立方体中均匀分布的 $n$ 个随机点，平均值在 $n$ 趋近无穷大时趋于 $\sqrt[d]{2}$。