重尾 regime 下最小生成树的几何：新的普适性类

统计物理学家提出并在过去十年中得到大量数值证据支持的[31,32,38,70]一个著名开放问题是：在强无序 regime 下随机图中最优路径的行为。该问题如下：对于一类具有度指数 $\tau\in (3,4)$ 的随机图模型，在超临界 regime 下巨连通分量上最小生成树（MST）上两个典型点之间的距离按 $n^{(\tau-3)/(\tau-1)}$ 缩放。本文旨在推进该猜想的证明。我们考虑一个度指数 $\tau\in(3, 4)$ 的超临界非均匀随机图模型，该模型与 Aldous 的乘性聚结过程密切相关，并证明通过给其巨连通分量中的边赋予 i.i.d. 连续权重所构造的 MST，在赋予按 $n^{-(\tau-3)/(\tau-1)}$ 缩放的树距离后，关于 Gromov-Hausdorff 拓扑依分布收敛到一个随机紧实树。此外，几乎必然地，该极限空间中的每个点要么度为 1（叶子），要么度为 2，要么度为无穷（枢纽），叶子集合与枢纽集合均在此空间中稠密，且该空间的 Minkowski 维数等于 $(\tau-1)/(\tau-3)$。乘性聚结过程在渐近意义上描述了各种近临界随机图过程的连通分量大小的演化。我们期望本文中的极限空间能作为为广泛其他重尾随机图模型所构造的 MST 的缩放极限的候选。