随机生成树直径：在普林克斯树与最小生成树之间插值

我们引入了 $\mathsf{WST}^{\beta_n}(K_n)$ 作为完全图 $K_n$ 上权重为 $\{\exp(-\beta_nU_{e})\}_{e\in E(K_n)}$ 的随机电网络所对应的加权生成树，其中 $U_e$ 为独立同分布的 $\mathrm{Unif}[0,1]$ 随机变量。从 $\beta_n\equiv 0$ 到增长速度越来越快的 $\beta_n$，该模型在普林克斯树和最小生成树之间插值：$\mathsf{WST}^0(K_n)=\mathsf{UST}(K_n)$，并且存在相变，使得 $\mathsf{WST}^{\beta_n}(K_n)$ 越来越像 $\mathsf{MST}(K_n)$： - 关于两个标准生成这些模型算法（Aldous-Broder 和 Prim 的侵入算法）一致性，大约在 $\beta_n=n^{3+o(1)}$； - 关于恰好包含相同边的模型，大约在 $\beta_n=n^{2+o(1)}$； - 关于预期总长度 $\mathbb{E}\left[\sum_{e\in \mathsf{WST}^{\beta_n}(K_n)}U_e\right]$，大约在 $\beta_n=n^{1+o(1)}$。更重要的是，我们研究了该模型的全局几何：我们证明了 $\mathsf{WST}^{\beta_n}(K_n)$ 的典型直径对于 $\beta_n\ge n^{4/3+o(1)}$ 按照 $\mathsf{MST}(K_n)$ 的情况增长为 $\Theta(n^{1/3})$，而对于 $\beta_n\le n^{1+o(1)}$ 按照 $\mathsf{UST}(K_n)$ 的情况增长为 $\Theta(n^{1/2})$。对于 $\beta_n=n^{\alpha}$ 且 $1<\alpha<4/3$，典型直径的行为是一个更为细致的开放问题，但我们推测其指数严格处于 1/2 与 1/3 之间。