完全图最小生成树的缩放极限

考虑具有 $n$ 个顶点的完全图的最小生成树 (MST)，其中边被赋予独立的随机权重。赋予该树以经 $n^{1/3}$ 重归一化的图距离及其顶点上的均匀测度。我们证明，当 $n$ 趋于无穷大时，所得空间在 Gromov-Hausdorff-Prokhorov 拓扑下依分布收敛于一个随机测度度量空间。我们还证明，该极限是一个随机二叉 R-树，且几乎必然具有 Minkowski 维数 3。特别地，其律与布朗连续随机树或其任何重缩放版本的律是 mutually singular 的。我们的方法依赖于 MST 问题与 Erd\"os-R\'enyi 随机图之间的耦合。我们利用了前三位作者在早期论文中建立的所谓临界窗口内 Erd\"os-R\'enyi 随机图缩放极限的显式描述，并为包含在 MST 内的“临界最小生成森林”的缩放极限提供了类似的描述。