乘性凝聚、非均匀连续随机树与临界随机图的新普适类

临界随机图领域的一个主要开放猜想由统计物理学家提出，并在过去十年中得到了大量数值证据的支持 [23, 24, 28, 63]：对于度数指数 $\tau\in (3,4)$ 的众多随机图模型，临界状态下最大分量内典型点之间的距离，以及超临界状态下巨分量上最小生成树上的距离，其尺度均表现为 $n^{(\tau-3)/(\tau-1)}$。本文研究乘性凝聚最大分量的度量空间结构，在其大小收敛到“无放回” Lévy 过程游程 [10] 的情形下，产生了一类全新的极限随机度量空间。该分析的副产品给出了度数指数 $\tau\in (3,4)$ 的一类基本随机图模型的连续标度极限，其中边按 $n^{-(\tau-3)/(\tau-1)}$ 重新标度，从而提供了上述猜想的首次严格证明。此情形下的极限是紧致的“树状”随机分形，具有有限的分形维数和密集的枢纽（无限度顶点）集合，其中有限数量的枢纽与叶节点等同以形成捷径。在特殊情形下，我们证明极限空间的 Minkowski 维数几乎必然等于 $(\tau-2)/(\tau-3)$，这与 Minkowski 维数几乎必然为 2 的 Erdős-Rényi 标度极限形成鲜明对比。人们普遍认为，当从勉强次临界状态过渡到临界状态时，许多基本随机图模型的动力学版本可以用乘性凝聚来近似。在正在进行的工作中，本文发展的一般理论被用于证明其他度数指数 $\tau\in (3,4)$ 的随机图模型的类似极限结果。