随机图中领导者问题的概率方法

我们在 Aldous 乘性凝聚 [4, 5] 的一般设定下研究领导者（即最大分量）身份的固定时间，该设定在渐近意义上描述了包括经典 Erd\H{o}s-R\'enyi 过程在内的多种近临界凝聚过程的分量大小演化。我们证明了在“布朗”区域中固定时间的紧性，并在最优 $O(1)$ 窗口内显式确定了固定时间的中位数。这使用了完全不同的技术，推广了 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图的 {\L}uczak 结果 [31]。在重尾情形下，即分量大小的极限可用稀疏纯跳跃 L\'{e}vy 过程编码时，我们证明仅单边紧性成立。这表明两种区域中可能的行为存在实质性差异。Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图设定下领导者问题的解答在研究完全图上最小生成树的标度极限 [2] 中发挥了重要作用。我们相信，本文所证明的类似结果将有助于确立最小生成树内在几何在大量模型类中的普适性。