完全图最小生成树的噪声敏感性

我们研究了当边被赋予独立随机权重时，$n$ 个顶点的完全图的最小生成树（MST）的噪声敏感性。已知当图距离按 $n^{1/3}$ 重新标度且顶点被赋予一致测度时，MST 在 Gromov-Hausdorff-Prokhorov（GHP）拓扑下依分布收敛。我们证明，若每条边的权重以概率 $\varepsilon\gg n^{-1/3}$ 独立重采样，则重标度后的一对最小生成树——噪声施加前后——依分布收敛到独立的随机空间。反之，若 $\varepsilon\ll n^{-1/3}$，则重标度树之间的 GHP 距离依概率趋于 $0$。这意味着对于对应于随机极限的连续集的 MST 的每一个性质，都具有噪声敏感性与稳定性。噪声阈值 $n^{-1/3}$ 与 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图的临界窗口一致。事实上，这些结果源于我们所证明的关于临界随机图的最小生成森林的一个类似定理。