随机点间最小非共线性的量化

设 $\varphi_{n,K}$ 表示在 $\mathbb{R}^d$（$d\ge2$）中具有非空内部的紧凸子集 $K$ 中随机选取的 $n$ 个点所构成的所有三角形中最大的角。研究表明，随机变量 $\lambda_d(K)\,\frac{n^3}{3!}\,(\pi-\varphi_{n,K})^{d-1}$ 的分布收敛于标准指数分布，其中 $\lambda_d(K)$ 是仅依赖于维数 $d$ 和 $K$ 形状的某个正实数，当 $n\to\infty$ 时。利用 Steiner 对称化，证明了 $\lambda_d(K)$——文中称之为 $K$ 的伸长率（elongation）——当且仅当 $K$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中的球 $B^{(d)}$ 时取最小值。最后，确定了大 $d$ 时 $\lambda_d(B^{(d)})$ 的渐近性。