部分极小值的统计特性

受多目标优化启发，我们研究了独立分布在 $d$ 维超立方体内的 $N$ 个点集的极值。当集合中某点的至少 $k$ 个坐标大于另一点时，称该点被另一点 $k$-占优；若不被任何其他点 $k$-占优，则称为 $k$-极小值。我们利用精确概率方法和启发式标度技术获得了这些部分极小值的统计性质。当 $1<=k<d$ 时，部分极小值的平均数量 $A$ 随总点数代数衰减，$A ~ N^{-(d-k)/k}$。有趣的是，存在 $k-1$ 个不同的标度律来刻画最大坐标，即第 $j$ 大坐标 $y_j$ 的分布 $P(y_j)$ 代数衰减，$P(y_j) ~ (y_j)^{-alpha_j-1}$，其中 $alpha_j=j(d-k)/(k-j)$，$1<=j<=k-1$。当 $k=d$ 时，部分极小值的平均数量对数增长，$A ~ [1/(d-1)!](\ln N)^{d-1}$。在二维情形下，以闭式获得了极小值数量的完整分布。