α-均匀分布点集的层数与层结构

对于 $\mathbb{R}^d$ 中的有限点集，我们考虑一种剥离过程：在每一步移除凸包的极点。给定点集 $X$ 的层数 $L(X)$ 定义为删去 $X$ 中所有点所需的剥离步数。已知若 $X$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中的随机点集，则 $L(X)$ 的期望为 $\Theta(|X|^{2/(d+1)})$；近来已证明若 $X$ 是平面上方格点阵的点集，则 $L(X)=\Theta(|X|^{2/3})$。本文研究 $\alpha>1$ 时 $\alpha$-均匀分布点集的层数；这些点集在比随机点集更一般的设定下共享其正则性方面。格点集对某些 $\alpha>1$ 亦为 $\alpha$-均匀分布点集。我们对平面上单位圆盘内某 $\alpha>1$ 的 $\alpha$-均匀分布点集 $X$ 给出了 $O(|X|^{3/4})$ 的层数上界，并给出显式构造表明该上界的增长率无法改进。此外，对 $\mathbb{R}^d$ 中单位球内某 $\alpha>1$ 且 $d\geq 3$ 的 $\alpha$-均匀分布点集 $X$，给出了 $O(|X|^{\frac{d+1}{2d}})$ 的层数上界。