$\Reals^d, d\geq 2$ 中随机增长簇的若干性质

我们考虑一个在 $\Re^d, d\geq 2$ 中增长点簇的简单模型。从位于原点的一个点 $X_1$ 开始，我们生成一个随机点序列 $X_1,X_2,\ldots,X_i,\ldots,$。为了生成 $X_{i}, i\geq 2$，我们在 $[i-1]=\{1,2,\ldots,i-1\}$ 中均匀选取一个整数 $j$，然后令 $X_{i}=X_j+D_i$，其中 $D_i=(\delta_1,\ldots,\delta_d)$。这里 $\delta_j$ 是正态分布 $N(0,\sigma_i)$ 的独立副本，其中对于某个 $\alpha>0$，$\sigma_i=i^{-\alpha}$。我们证明，对于任何 $\alpha>0$，所得点集几乎必然是有界的，而且从点集上组合结构最小长度的角度来看，生成的点看起来像是从 $\Re^d$ 的 $\beta$ 维子集中抽取的样本，其中 $\beta=\min(d,1/\alpha)$。