近正交向量与小对径球码

如何将$\mathbb{R}^d$中的$d+k$个向量排布得尽可能接近正交？特别地，定义$\theta(d,k):=\min_X\max_{x\neq y\in X}|\langle x,y\rangle|$，其中最小值取遍所有由$d+k$个单位向量组成的集合$X\subseteq\mathbb{R}^d$。本文关注$k$固定且$d\to\infty$的情形。在建立$\theta(d,k)$的界时，我们发现其与$\mathbb{R}^k$中${k+1\choose 2}$个等角线系统的存在性有密切关联。利用此关联，我们能在$k\in\{1,2,3,7,23\}$时确定$\theta(d,k)$，并给出一般$k$下的渐近性。主要工具是当$\mu$为$\mathbb{R}^k$上的各向同性概率质量时，$\mathbb{E}_{x,y\sim\mu}|\langle x,y\rangle|$的一个上界，这或许有独立意义。我们的结果可自然平移至$\mathbb{C}^d$中的类似问题。此时该问题关联于$\mathbb{C}^k$中$k^2$个等角线系统的存在性，在物理文献中亦称为SIC-POVM。