具有指定逼近阶的复数与扎伦巴猜想

给定 $b=-A\pm i$，其中 $A$ 为正整数，我们可将任意复数表示为以 $b$ 为基、系数取自 $\mathcal A=\{0,1,\ldots, A^2\}$ 的幂级数。我们证明：对于任意实数 $\tau\geq 2$ 以及 $\mathcal A$ 的任意非空真子集 $J(b)$，存在不可数多个复数（包括超越数）可表示为系数取自 $J(b)$ 的 $b$ 的幂级数，且其（依高斯整数定义的）无理指数等于 $\tau$。我们构造中的关键要素之一是应用于赫尔维茨连分数的“折叠引理”。这启发了著名扎伦巴猜想的一个赫尔维茨连分数类比。我们证明了若干支持该猜想的结果。